Question

19．若tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{5}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），则cos（2α-$\frac{π}{4}$）的值为$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 利用方程求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α 和 cos2α 的值，再由 cos（2α-$\frac{π}{4}$）利用两角差的余弦函数运算求得结果．

解答 解：∵tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{5}{2}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），∴tanα=$\frac{1}{2}$．2α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
再由sin2α=$\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，cos2α=$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$\frac{3}{5}$，
可得 cos（2α-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{4}$cos2α+sin$\frac{π}{4}$sin2α=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．