Question

【题目】已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．

函数f（x）＝的导数为f′（x），

由题意可令x＝a，解得y，

可得P（a，），

即有切线的斜率为k，

切线的方程为y﹣（x），

令y＝0，可得x＝a﹣1，

即B（ a﹣1，0），

在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，

则△ABP面积为S（a）|AB||AP|，a＞0，

导数S′（a），

当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．

即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．

故答案为：e．