直线l:y=m与曲线E:y=|lnx|的两个交点A.B的横坐标分别为x1.x2.且x1＜x2.曲线E在点A.B处的切线PA.PB与y轴分别交于点M.N．有下面5个结论:①|MN|=2,②三角形PAB可能为等腰三角形,③若直线l与y轴的交点为Q.则|PQ|=1,④若点P到直线l的距离为d.则d的取值范围为(0.1),⑤当x1是函数g(x)=x2+lnx的零点时.|AO|取得最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

直线l：y=m（m为实常数）与曲线E：y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N．有下面5个结论：
①|

|=2；
②三角形PAB可能为等腰三角形；
③若直线l与y轴的交点为Q，则|PQ|=1；
④若点P到直线l的距离为d，则d的取值范围为（0，1）；
⑤当x₁是函数g（x）=x²+lnx的零点时，|

|（0为坐标原点）取得最小值．
其中正确结论有

．（写出所有正确结论的序号）

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,导数的概念及应用,直线与圆

分析：画出y=m和y=|lnx|的图象，求出切线的斜率，求出交点的坐标M，N，即可得到MN的长，即可判断①；
通过图象观察分析，两切线垂直，即可判断②；求出P的坐标，再求PQ长，即可判断④；
由零点的定义，求出AO的长，运用函数的性质，即可判断⑤．

解答：

解：对于①，由|lnx₁|=|lnx₂|，可得，
x₁x₂=1，且0＜x₁＜1，x₂＞1，且A（x₁，-lnx₁）
B（x₂，lnx₂），在A点处的切线斜率为-

，
在B点处的切线斜率为：

，
则设M（0，s），N（0，n），
则有

s+lnx1

-x1

，解得，s=1-lnx₁，
由

n-lnx2

-x2

，解得，n=lnx₂-1，
则有|MN|=1-lnx₁-（lnx₂-1）=2-ln（x₁x₂）=2，则①对；
对于②，若△PAB为等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，则P在AB的中垂线上，不可能；若PA=AB，易得P的横坐标小于1，不成立；
若PB=AB，则由于-

•

=-1，即有PA⊥BP，则不成立，故②错；
对于③，Q（0，m），由y+lnx₁=1-

x和y-lnx₂=

-1，x₁x₂=1，
解得交点P（

2x1

1+x12

，1-lnx₁-

1+x12

），由于m=lnx₂=-lnx₁，
则有|PQ|=

(

2x1

1+x12

)2+(

x12-1

1+x12

=1．故③对；
对于④，d=m-（1-lnx₁-

1+x12

）=

1-x12

1+x12

=-1+

1+x12

∈（0，1），故④对；
对于⑤，当x₁是函数g（x）=x²+lnx的零点时，即有x₁²+lnx₁=0，
|

x12+(lnx1)2

x14+x12

，由于0＜x₁＜1，则取不到最小值，故⑤错．
故答案为：①③④

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查两点的距离和点到直线的距离公式，考查函数的最值的求法，考查运算和判断能力，属于中档题和易错题．

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