Question

已知函数f（x）=ax³+bx+1（a≠0），当x=1时有极值．
（1）求a、b的关系式；
（2）若当x=1时，函数f（x）有极大值3，且经过点P（0，17）作曲线y=f（x）的切线l，求切线l的方程；
（3）设函数g（x）=f（x）-2x²（a＞0）在区间（2，3）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，由题意可得3a+b=0；
（2）由题意得a+b+1=3，结合（1）可得a=-1，b=3，从而可得f（x）=-x³+3x+1，f′（x）=-3x²+3，设切线l与函数相切于点（m，-m³+3m+1），从而由切线方程代入即可；
（3）g（x）=f（x）-2x²=ax³-2x²-3ax+1，g′（x）=3ax²-4x-3a；化g（x）在区间（2，3）上单调递减为g′（x）＞0在区间（2，3）上恒成立，从而解得．

解答： 解：（1）f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，
∵当x=1时有极值，∴3a+b=0，
即b=-3a；
（2）∵当x=1时，函数f（x）有极大值3，
∴f（1）=a+b+1=3，
又∵b=-3a，
解得，a=-1，b=3；
则f（x）=-x³+3x+1，f′（x）=-3x²+3，
设切线l与函数相切于点（m，-m³+3m+1）；
故斜率k=-3m²+3；
故切线l的方程为y-（-m³+3m+1）=（-3m²+3）（x-m）；
代入点P得，
17-（-m³+3m+1）=（-3m²+3）（0-m），
解得，m=2；
故切线l的方程为9x+y-17=0；
（3）g（x）=f（x）-2x²=ax³-2x²-3ax+1，
g′（x）=3ax²-4x-3a；
g（x）在区间（2，3）上单调递减可化为
g′（x）＞0在区间（2，3）上恒成立，
又∵a＞0，
∴

g′(2)=12a-8-3a≤0 g′(3)=27a-12-3a≤0

，
解得，0＜a≤

1

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及二次函数的最值问题等，属于难题．