Question

已知A（1，0）、B（-2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0）．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若直线l：y=k（x+7），且轨迹E上存在不同的两点C、D关于直线l对称，求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程,与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）如何体现动点M满足的条件∠MBA=2∠MAB是解决本题的关键．用动点M的坐标体现∠MBA=2∠MAB的最佳载体是直线MA、MB的斜率．
（2）先设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．由点差法有y₀=-3kx₀．又y₀=k（x₀+7），考的x₀=-

7

4

，y₀=

21

4

k，即可求直线l斜率k的取值范围．

解答： 解：（1）设动点M的坐标为（x，y），则．
由∠MBA=2∠MAB（∠MAB≠0），得

|y|

x+2

=

2× |y| 1-x

1-( |y| 1-x )2

，
化简得3x²-y²=3，
当∠MBA=

π

2

时也满足．
显然，动点M在线段AB的中垂线的左侧，且∠MAB≠0，
故轨迹E的方程为 3x²-y²=3（x＜-1）．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点（x₀，y₀）（x₁，x₂，x₀＜-1）．
由点差法有y₀=-3kx₀．
又y₀=k（x₀+7），∴x₀=-

7

4

，y₀=

21

4

k，由3×(-

7

4

)2-（

21

4

k）²＞3，得-

11

7

＜k＜

11

7

　
又当直线CD过点（-1，0）时，k=±

7

7

故k的取值范围是-

11

7

＜k＜

11

7

且k≠±

7

7

．

点评：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题主要用直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．