Question

设函数f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x=

1

2

时，f（x）有极小值

1

3

，求a，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的增减性，并求出极值；
（2）由（1）的结论，求出a、b的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-

1

3

x³+2ax²-3a²x+b（0＜a＜1），
∴f′（x）=-x²+4ax-3a²，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：

x	（-∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	- 4 3 a3+b	递增	b	递减

由表可知：当x∈（-∞，a）时，函数f（x）为减函数，
当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数，
当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数；
∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）；
当x=a时，f（x）的极小值为-

4

3

a³+b，
当x=3a时，f（x）的极大值为b；
（2）当x=

1

2

时，f（x）有极小值

1

3

，
根据（1）得，a=

1

2

，且-

4

3

a³+b=

1

3

，
即-

4

3

×(

1

2

)3+b=

1

3

，解得b=

1

2

；
综上，a=

1

2

，b=

1

2

．

点评：本题考查了利用导数来研究函数的单调性与求函数极值的问题，也考查了含有字母系数的方程的解法问题，是中档题．