Question

设f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，
（1）若曲线y=f（x）在点（

1

3

，f（

1

3

））处切线的斜率为

4

3

，求a，b；
（2）若曲线y=f（x）存在斜率为

4

3

的切线．求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得对?x∈（-∞，0]，都有f（x）≥c．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=-x³+ax²+bx+c，f′（x）=-3x²+2ax+b，从而得到f′（1）=-3+2a+b=0，f′(

1

3

)=-

1

3

+

2

3

a+b=

4

3

；解出a=1，b=1；验证即可；
（2）由（1）知，b=3-2a，从而化f′(x)=-3(x-1)[x-(

2

3

a-1)]，由f（x）在x=1处取得极大值可知

2a

3

-1＜1，再由f′(x)=

4

3

有实根知3x²-2ax+2a-

5

3

=0有实根，从而求a的取值范围；
（3））（法一）由（2）可知，f（x）在（-∞，

2a

3

-1）上是减函数，在（

2a

3

-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；从而化条件为f（x）_min=f（

2a

3

-1）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2+c≥c，
令g（a）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2≥0，从而求单调性与最值，从而得到答案；
（法二）化f（x）≥C为-x³+ax²+bx+c≥c，即-x³+ax²+bx≥0，x∈（-∞，0]，讨论x的取值降幂，从而简化运算，在x∈（-∞，0）时，可化为x²-ax-b≥0；即x²-ax-3+2a≥0，从而得到a≥

x2-3

x-2

=x+2+

1

x-2

=g（x），再求g（x）的单调性与最值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，f′（x）=-3x²+2ax+b，
∴f′（1）=-3+2a+b=0，f′(

1

3

)=-

1

3

+

2

3

a+b=

4

3

；
∴a=1，b=1．
此时，f′（x）=-3x²+2x+1=-（3x+1）（x-1），
∴当x∈（-

1

3

，1）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴满足条件x=1是极大值点．
∴a=1，b=1．
（2）由（1）知，b=3-2a，
∴f′(x)=-3(x-1)[x-(

2

3

a-1)]
令f′(x)=-3(x-1)[x-(

2

3

a-1)]=0，
则 x₁=1，x₂=

2a

3

-1，
∵f（x）在x=1处取得极大值，
∴

2a

3

-1＜1，
∴a＜3，
又f′(x)=

4

3

有实根，
即3x²-2ax+2a-

5

3

=0有实根．
∴△=4a²-12（2a-

5

3

）≥0，
∴a≤1或a≥5，
又a＞0，
综上，得0＜a≤1．
（3）（法一）由（2）可知，
f（x）在（-∞，

2a

3

-1）上是减函数，在（

2a

3

-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
而x∈（-∞，0]，且

2a

3

-1∈（-1，-

1

3

）．
∴f（x）在（-∞，

2a

3

-1]上是减函数，在（

2a

3

-1，0]上是增函数，
∴f（x）_min=f（

2a

3

-1）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2+c≥c，
得g（a）=

4

27

a3-

4

3

a2+3a-2≥0，
∵0＜a≤1，
∴g′(a)=

4

9

a3-

8

3

a+3=

4

9

(a-

9

2

)(a-

3

2

)＞0，
∴y=g（a）在（0，1]上是增函数，
∴g（a）_max=g（1）=-

5

27

＜0，
∴不存在a∈（0，1]的取值，
使f（x）_min=g（a）≥0成立，
于是，不存在a∈（0，1]的取值，
使得对?x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0． 
（法二）f（x）≥C可化为-x³+ax²+bx+c≥c，
即-x³+ax²+bx≥0，x∈（-∞，0]，
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式可化为x²-ax-b≥0；
即x²-ax-3+2a≥0，
∴a≥

x2-3

x-2

=x+2+

1

x-2

=g（x），
∵x≤0，
∴g′（x）=1-

1

(x-2)2

＞0，
∴y=g（x）在x∈（-∞，0]上是增函数，
∴g（x）_max=g（0）=

3

2

，
∴a≥

3

2

，与a∈（0，1]矛盾，
∴不存在a∈（0，1]的取值，使得对?x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题，属于难题．