Question

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a为常数）．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若对任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导f′（x）=

1

x

+2x-a，
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0从而解得a=3，检验即可；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=

2(x- a 4 )2+1- a2 8

x

＞0，故f（x）在（0，+∞）上是增函数，求最大值，化对任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立为对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；从而得m＜

4+ln2-2a

lna

恒成立，令g（a）=

4+ln2-2a

lna

，（1＜a＜2）；求函数的最小值即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

+2x-a，
（1）由题意得，f′（1）=1+2-a=0，
解得，a=3；
经检验，x=1是函数f（x）的一个极小值点；
（2）当a∈（1，2），f′（x）=

2(x- a 4 )2+1- a2 8

x

＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）=ln2+4-2a；
故对任意的a∈（1，2）存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞mlna恒成立可化为
对任意的a∈（1，2），不等式ln2+4-2a＞mlna恒成立；
即m＜

4+ln2-2a

lna

恒成立；
令g（a）=

4+ln2-2a

lna

，（1＜a＜2）；
则g′（a）=

-2alna+2a-4-ln2

aln2a

，
令M（a）=-2alna+2a-4-ln2，
则M′（a）=-2lna＜0，
则M（a）在（1，2）上是减函数，
M（a）＜M（1）=2-4-ln2＜0，
故g′（a）＜0；
则g（a）=

4+ln2-2a

lna

在（1，2）上是减函数，
故m≤g（2）=1，
故实数m的取值范围为：m≤1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．