Question

已知抛物线y²=-8x的焦点为F₁，准线与x轴的交点为F₂，直线l：x-y+4=0，以F₁、F₂为焦点的椭圆C过直线l上一点．
（1）求长轴最短时椭圆C的方程；
（2）在（1）中的椭圆上存在四点M、N、P、Q满足：

PF2

∥

F2Q

，

MF2

∥

F2N

，

PF2

⊥

F2M

，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线y²=-8x，可得焦点F₁（-2，0），准线与x轴的交点为F₂（2，0）．设所求的椭圆C的标准方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，联立方程化为（2b²+4）x²+8（b²+4）x+（b²+4）（16-b²）=0，令△=0，解出即可．
（2））①当PQ与MN中的一个与x轴垂直时，把x=2代入椭圆方程解得y．即可得出四边形PMQN的面积．
②当PQ与MN的斜率都存在时，设PQ的直线方程为：y=k（x-2），则直线MN的方程为：y=-

1

k

（x-2）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，利用四边形PMQN的面积S=

1

2

|PQ||MN|及其基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由抛物线y²=-8x，可得焦点F₁（-2，0），准线与x轴的交点为F₂（2，0）．
设所求的椭圆C的标准方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，
联立

x-y+4=0 x2 b2+4 + y2 b2 =1

，化为（2b²+4）x²+8（b²+4）x+（b²+4）（16-b²）=0，
令△=64（b²+4）²-4（2b²+4）（b²+4）（16-b²）=0，
解得b²=6．
∴长轴最短时椭圆C的方程为

x2

10

+

y2

6

=1．
（2）①当PQ与MN中的一个与x轴垂直时，把x=2代入椭圆方程可得

4

10

+

y2

6

=1，解得y=±

3 10

5

．
∴四边形PMQN的面积=

1

2

×2

10

×

6 10

5

=12．
②当PQ与MN的斜率都存在时，设PQ的直线方程为：y=k（x-2），则直线MN的方程为：y=-

1

k

（x-2）．
联立

y=k(x-2) 3x2+5y2=30

，化为（3+5k²）x²-20k²x+20k²-30=0，
△=400k⁴-4（3+5k²）（20k²-30）＞0．
∴x1+x2=

20k2

3+5k2

，x₁x₂=

20k2-30

3+5k2

．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 400k2 (3+5k2)2 - 4×(20k2-30) 3+5k2 ]

=

6 10 (1+k2)

3+5k2

．
同理可得|MN|=

6 10 (1+k2)

5+3k2

．
∴四边形PMQN的面积S=

1

2

|PQ||MN|=

1

2

×

6 10 (1+k2)

3+5k2

×

6 10 (1+k2)

5+3k2

=

180(1+k2)2

(3+5k2)(5+3k2)

=

180

15+ 4 k2+ 1 k2 +2

≥

180

15+ 4 2+2

=

45

4

．当且仅当k²=1时取等号．
综上①②可得：当k=±1时，四边形PMQN的面积取得最小值

45

4

；
当PQ与MN中的一个与x轴垂直时，四边形PMQN的面积取得最大值12．

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、四边形面积极限公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．