Question

3．在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C、D四首不同曲目中任选一首
（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率
（2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，再求出甲、乙两班选择不同曲目包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两班选择不同曲目的概率；
（2）由已知X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）甲班、乙班、丙班、丁班均可从A、B、C、D四首不同曲目中任选一首，
∴甲、乙两班选择不同曲目的概率P=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{4}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）∵这四个班级总共选取了X首曲目，∴X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{4}{{4}^{4}}$=$\frac{1}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}（{2}^{4}-2）}{{4}^{4}}$=$\frac{21}{64}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{4}^{4}}$=$\frac{9}{16}$，
p（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}}{{4}^{4}}$=$\frac{3}{32}$．
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{21}{64}$	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{32}$

E（X）=1×$\frac{1}{64}$+2×$\frac{21}{64}$+3×$\frac{9}{16}$+4×$\frac{3}{32}$=$\frac{175}{64}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查古典概型概率的求法，是中档题．