Question

13．已知函数f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．若对任意的x₁，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），求m的取值范围．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过对任意的x₁，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），转化当m≥0时，只需$0≥-\frac{1}{2}m+2$，当m＜0时，0≥-2m+2，求解即可．

解答 解：$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}=\frac{1-cos2x}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}=1-sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由x₁∈[0，π]，得f（x₁）∈[0，2]．
又x₂∈[0，π]，
当m≥0时，$g（{x_2}）∈[-2m+2，-\frac{1}{2}m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需$0≥-\frac{1}{2}m+2$，解得m≥4．
当m＜0时，$g（{x_2}）∈[-\frac{1}{2}m+2，-2m+2]$，要使f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需0≥-2m+2，矛盾．
综上m的取值范围是m≥4．

点评 本题考查三角函数化简求值，函数的最值的应用，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．