Question

【题目】已知函数的定义域为R，且的图像过点.

（1）求实数b的值；

（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使函数在R上的最大值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由图象变换可得f（0）＝log4b＝0，解得b；

（2）可令t，可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增，求出导数，由导数不小于0，解不等式即可得到a的范围；

（3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43，即有t在R上的最大值为．将函数t整理为关于x的方程，运用判别式非负，结合二次方程的根的含义，代入，解方程即可得到a的值，检验即可得到所求值．

（1）y＝f（x+1）的图象过点A（﹣1，0），

可得y＝f（x）的图象过点（0，0），

即有f（0）＝log4b＝0，解得b＝1；

（2）可令t，

可得t＞0，且函数t在[1，+∞）上单调递增，

由导数t′

0恒成立，

由于x≥1，可得a﹣1≤0，即a≤1，

当a＝1时，函数t＝1为常数，舍去，

故a＜1；

（3）假设存在实数a，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43，

即有t在R上的最大值为．

即有（t﹣1）x2+（t﹣a）x+t﹣1＝0

由△＝（t﹣a）2﹣4（t﹣1）2≥0，

即有3t2﹣（8﹣2a）t﹣（a2﹣4）≤0，

由假设可得3（8﹣2a）（a2﹣4）＝0，

解得a＝2或，

当a＝2时，f（x）＝log4的定义域不为R，舍去，

则存在实数a为，使函数f（x）在R上的最大值为1﹣log43．