Question

【题目】设函数

（1）求函数的解析式；

（2）设，是否存在实数a，使得当时，恒有成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）将y＝ax+3a作为方程利用指数式和对数式的互化解出x，然后确定原函数的值域即为反函数的定义域；

（2）设h（x）＝f﹣1（x）+g（x），然后求出h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值，使最大值与最小值都小于等于1，建立不等式组进行求解即可．

（1）设y＝ax+3a，则且ax＝y﹣3a，

两边取对数得：x＝loga（y﹣3a），

所以f﹣1（x）＝loga（x﹣3a）（）

（2）因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a＝2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，设h（x）＝f﹣1（x）+g（x），则，二次函数u＝x2﹣4ax+3a2的对称轴为x＝2a＜2，

所以u＝x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，

当x＝a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x＝a+3时取得最大值3（3﹣2a）

从而可得在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为loga3（3﹣2a），loga4（1﹣a）

当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立的充要条件为

解得．