Question

已知函数f（x）=ax³+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²+b，由题知…（1分）

f′(1)=2 f(1)=2-2=0

?

3a+b=2 a+b=0

?

a=1 b=-1

∴f（x）=x³-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t²-1）x-2t³…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t³-3t²+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t³-3t²+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值2	↘	极小值-2	↗

由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线…（13分）