Question

【题目】如图，在以为顶点的五面体中，面是边长为3的菱形.

（1）求证：；

（2）若，，，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由已知条件中的菱形得到线线平行，利用线面平行的判定定理得到线面平行，再由线面平行的性质定理得到线线平行；

（2）建立空间直角坐标系，求出法向量的夹角，得出二面角的大小.

（1）因为是菱形，

所以，

又因为平面，

平面，

所以平面，

又因为平面，

平面平面，

所以.

（2）在中，

根据余弦定理，

因为，，，

所以，

则，

所以，

即.

因为，，

所以.

又因为，

平面,

所以平面.

设中点为，连结，,

因为是菱形，，

所以是等边三角形，

所以，

所以.

作于点，

则，

在中，，

所以.

如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.

则，，，

，.

设平面的一个法向量为，

因为，

所以，

即，

取，解得，，

此时.

由图可知，平面的一个法向量为，

则，

因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值是.