Question

【题目】设点，动点满足，的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)过定点作直线交曲线于两点.设为坐标原点，若直线与轴垂直，求面积的最大值;

(3)设，在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数?若存在，求出点的坐标和这个常数;若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)1;(3)存在，存在点，常数为

【解析】

(1)根据椭圆定义判断并根据对应量的含义求标准方程;

(2)设直线方程，与椭圆方程联立解得交点坐标，表示出三角形面积，最后根据基本不等式求最值；

(3)先用坐标化简直线和的斜率的乘积，再设直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理化简两斜率的乘积式，最后根据恒成立解得点的坐标和斜率的乘积常数值.

(1)依题意可得:曲线为椭圆，

其中心在原点，长轴的长，半焦距，

故，

因此，曲线的方程为.

(2)不妨设直线与椭圆的交点为，

由得

则，

当且仅当即，亦即时取等号，

综上可得，面积的最大值为1.

(3)设直线与椭圆的交点为.

依题意，可设直线，

由消去并整理得，

则，(※)

且，……①

又，……②

若存在定点符合题意，且(为非零常数)，

则，

把①②式代入此式并整理得:

(这里为常数，且为非零常数).

要使得上式对变量恒成立，只须(注意到)，

解得或.

即当定点是椭圆的右顶点时，非零常数;

当定点是椭圆的左顶点时，非零常数.

综上，在轴上，存在点，

使直线和的斜率的乘积为非零常数，或存在点，

使直线和的斜率的乘积为非零常数.