Question

【题目】如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.

（1）若，证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明AD⊥平面BCM，再证明平面平面；（2）先分析得到，以O为原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：因为，所以，

所以．

取BC中点O，连结DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，

因为，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD，

又因为BM⊥AD，，所以AD⊥平面BCM，

所以平面ACD⊥平面BCM．

（2）由（1）知，是二面角D-BC-A的平面角，

所以，

过作交延长线于G，因为BC⊥平面AOD，平面AOD，

所以，

因为，所以平面．

如图，以O为原点，以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

设 ，则，

又因为，

所以，

在中，，

所以 ， ，

所以，

所以，，

设是平面DCA的法向量，

则即

取，

因为点是线段的中点，所以，

所以 ，

设直线BM与平面DCA所成角的大小为，则

，

所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为．