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    【题目】如图，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，且．

    （1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；

    （2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．

    【答案】（1）见解析； （2）.

    【解析】

    （1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积垂直关系坐标表示表示计算论证线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；

    （2）先利用向量求点面距，再根据体积公式列方程解得向量的坐标，最后根据向量的模的坐标公式求结果.

    （1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．

    则，，，，，

    因为，，所以，，

    则，，．

    ，，即垂直于平面中两条相交直线，

    所以平面．

    （2），可设，

    所以向量的坐标为，

    平面的法向量为．

    点到平面的距离．

    中，，，，所以．

    三棱锥的体积，所以．

    此时向量的坐标为，，即线段的长为．

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    （Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意

    抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率．

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    【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点．

    （1）求的值；

    （2）求点到、两点的距离之积．

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    【题目】如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.

    （1）设棱的中点为，证明：平面；

    （2）若，，，且平面平面.

    （i）求三棱柱的体积；

    （ii）求二面角的余弦值.

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    【题目】如图,在四棱锥中,四边形是矩形,平面平面, 为中点.

    （Ⅰ）求证: 平面;

    （Ⅱ）.

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    【题目】如图，在三棱锥中，为等边三角形，，面积是面积的两倍，点在侧棱上.

    （1）若，证明：平面平面；

    （2）若二面角的大小为，且为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

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