Question

3．一个正四面体的体积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，它的三视图中的俯视图如图所示（其中三个小三角形全等），侧视图是一个三角形，则这个三角形的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知正四面体的体积求得棱锥的棱长，再根据俯视图判断几何体的放置位置，从而可得侧视图是等腰三角形，求出底边上的高，计算三角形的面积即可．

解答 解：设正四面体的棱长为a，则体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
根据正四面体的俯视图可得，其左视图为等腰三角形，
底边为侧棱长2，且底边上的高为四面体的高$\frac{\sqrt{6}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
∴侧视图的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了由俯视图的位置求几何体的侧视图面积，根据俯视图的放置位置判断左视图的结构特征是解答本题的关键．