Question

20．已知集合A={1，2}，B={1，2，…，4n}（n∈N^*），设C={（x，y）|x整除y或y整除x，x∈A，y∈B}，令f（n）表示集合C所含元素的个数．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）列举出所有符合条件的元素，
（2）验证n=1时猜想是否成立，假设n=k时猜想成立，则n=k+1时，C中多出的元素是可数的，即可验证n=k+1时，猜想是否成立．

解答 解：（1）当n=1时，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，4），（2，1）}，
∴f（1）=7；
当n=2时，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，1）}，∴f（2）=13；
当n=3时，C={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（1，10），（1，11），（1，12），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（2，1）}，
∴f（3）=19．
（2）猜想：f（n）=6n+1． 
①当n=1时，由（1）知f（1）=7=6×1+1，结论成立；   
②假设当n=k（k≥1，k∈N^*）时，结论成立，即f（k）=6k+1，
那么当n=k+1时，C中新增加的元素为（1，4k+1），（1，4k+2），（1，4k+3），（1，4k+4），（2，4k+2），（2，4k+4），
所以f（k+1）=f（k）+4+2=6k+1+6=6（k+1）+1，
所以当n=k+1时，结论也成立．
根据①和②可知，f（n）=6n+1当n∈N^*时都成立．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，掌握证明步骤，发现n=k与n=k+1时的联系是证明的关键．