Question

定义域R上的偶函数f（x）对任意的实数x都有f（x）=-f（x+

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3

），且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…f（2013）的值为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x）=-f（x+

2

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）得到函数的周期为T=

4

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，从而有f（x+4）=f（x），可求出f（1），f（2），f（3），f（4），
并求和，进而求出f（1）+f（2）+…+f（2013）．

解答： 解：∵f（x）是定义域R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）
∵f（-1）=1，∴f（1）=1，
∵f（x+

4

3

）=-f（x+

2

3

）=f（x），∴T=

4

3

∴f（x+4）=f（x），∴f（4）=-2，
又f（-

2

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）=-f（0）=2
即f（

8

3

-

2

3

）=2即f（2）=2，又f（3）=f（-1）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+2+1+（-2）=2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=2×503+1=1007．
故答案为：1007．

点评：本题主要考查函数的周期性、奇偶性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．