Question

17．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且点$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在双曲线C上，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$
• B． ${y^2}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且点$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在双曲线C上，知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出双曲线C的标准方程．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率等于$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且点$（{\sqrt{5}，\frac{1}{2}}）$在双曲线C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}}\\{\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=4，b²=1，
∴双曲线C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1．
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用．