Question

9．对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[-0，2]=-1，[1.72]=1，已知${a_n}=[{\frac{n}{3}}]（{n∈{N^*}}），{S_n}$为数列{a_n}的前项和，则S₂₀₁₇=677712．

Answer 1

分析 利用n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，可得S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，由2017=3×672+1，即可求得S₂₀₁₆，由a₂₀₁₇=672，S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇，即可求得S₂₀₁₇．

解答 解：∵n∈N^*，a_n=[$\frac{n}{3}$]，
∴n=3k，k∈N^*时，a_3k=k；
n=3k+1，k∈N时，a_3k+1=k；
n=3k+2，k∈N时，a_3k+2=k．
S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=3×$\frac{[1+（n+1）]（n-1）}{2}$=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，
由2017=3×672+1，
∴S₂₀₁₆=S_3×672=$\frac{3}{2}$×672²-$\frac{672}{2}$=677040，
a₂₀₁₇=672，
S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=677040+672=677712，
故答案为：677712．

点评 本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，是新定义题，应熟悉定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题．