Question

6．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及相应的x取值；
（Ⅱ）该函数的图象可以由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简，再由正弦函数的最值可确定答案．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=2k$π+\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z时，函数f（x）的最大值为：2+2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再把所得图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的$\sqrt{2}$倍，可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象．
再把所得图象沿y轴向上平移2个单位，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2的图象．

点评 本题主要考查正弦函数的最值和二倍角公式、两角和的正弦公式的应用．考查对基础知识的简单综合应用．三角函数的公式比较多，要强化记忆．