Question

已知函数f（x）=e^x+ax，（其中e为自然对数的底数），
（1）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线（e-1）x-y=1平行，求a的值；
（2）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用导数的几何意义，即可求a的值；
（2）当x=0时，对任意实数a，f（x）=e^x＞0恒成立；当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数h（x）=-

ex

x

，由导数求其最大值，则a的范围可求．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x+a，…（2分）
因此y=f（x）在（1，f（1））处的切线l的斜率为e+a，…（3分）
又直线x+（e-1）y=1的斜率为e-1，…（4分）
∴e+a=e-1，
∴a=-1．…（6分）
（2）∵当x≥0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
∴先考虑x=0，此时，f（x）=e^x，a可为任意实数；   …（8分）
又当x＞0时，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
则a＞-

ex

x

恒成立，…（10分）
设h（x）=-

ex

x

，则h'（x）=

(1-x)ex

x2

，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
故当x=1时，h（x）取得极大值，h（x）_max=h（1）=-e，…（12分）
∴要使x≥0，f（x）＞0恒成立，a＞-e，
∴实数a的取值范围为（-e，+∞）．        …（14分）

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数．