Question

已知函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=-x³-ax²+a-

a2

4

，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）-g（β）|＜a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′(x)=

(2x-a)(x+1)

x

(x＞0)，再讨论当a≤0时，当a＞0时的情况，从而得出函数的单调区间，
（Ⅱ）当x∈（0，a]时分别求出f（x）_min，g(x)max=a-

a2

4

，从而得出f(x )min-g(x)max=-aln

a

2

，讨论①当-aln

a

2

≤0，②当-aln

a

2

＞0时的情况，综合得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

(2x-a)(x+1)

x

(x＞0)
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＞

a

2

；由f'（x）＜0得0＜x＜

a

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为(

a

2

，+∞)，单调减区间为(0，

a

2

)
（Ⅱ）当x∈（0，a]时，∴f(x)min=f(

a

2

)=a-

a2

4

-aln

a

2

，
g(x)=-x3-ax2+a-

a2

4

，
则g′(x)=-3x2-2ax=-3(x+

a

3

)2+

a2

3

当x∈（0，a]时，g(x)max=a-

a2

4

，
f(x )min-g(x)max=-aln

a

2

①当-aln

a

2

≤0，则|f（α）-g（β）|_min=0＜a显然成立，即a≥2
②当-aln

a

2

＞0，则|f(α)-g(β)|min=|f(x )min-g(x)max|=-aln

a

2

＜a，即

2

e

＜a＜2，
综上可知 a＞

2

e

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查分类讨论，转化思想，是一道综合题．