Question

求函数f（x）=x²-ax+1（a为常数），x∈[-1，1]的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：讨论对称轴x=

a

2

和区间[-1，1]的关系，从而判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性及是否取得顶点的情况，从而求出函数f（x）在每种情况下的值域．

解答： 解：f（x）=x²-ax+1=(x-

a

2

)2+1-

a2

4

；
∴①当

a

2

≤-1，即a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上单调递增，∴函数f（x）的值域为[f（-1），f（1）]=[2+a，2-a]；
②当-1＜

a

2

≤0，即-2＜a≤0时，x=

a

2

时，函数f（x）取最小值1-

a2

4

，又f（-1）=2+a，f（1）=2-a，f（-1）＜f（1），∴函数f（x）的最大值为2-a，∴函数f（x）的值域为[1-

a2

4

，2-a]；
③当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，x=

a

2

时，函数f（x）取最小值1-

a2

4

，又f（-1）=2+a，f（1）=2-a，f（-1）＞f（1），∴函数f（x）的最大值是2+a，∴函数f（x）的值域为[1-

a2

4

，2+a]；
④当

a

2

≥1，即a≥2时，函数f（x）在[-1，1]上单调递减，∴函数f（x）的值域为[f（1），f（-1）]=[2-a，2+a]．

点评：考查二次函数在一闭区间上的值域，并注意本题对对称轴的讨论过程．