Question

设函数f（x）=

x+sinx

x

，g（x）=xcosx-sinx
（1）求证：当x∈（0，π]时，g（x）＜0；
（2）若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）求出函数g（x）=xcosx-sinx的导函数，分析导函数在（0，π]上符号，进而判断出g（x）在（0，π]上为减函数，进而得到g（x）＜g（0）=0；
（2）求出函数f（x）=

x+sinx

x

的导函数，分析导函数在（0，π]上符号，进而判断出f（x）在（0，π]上为减函数，将存在性问题转化为最值问题后，可得a的取值范围．

解答： 证明：（1）∵g（x）=xcosx-sinx
∴g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，π]，
∴g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）=xcosx-sinx在（0，π]上为减函数，
故g（x）＜g（0）=0
（2）∵函数f（x）=

x+sinx

x

，
∴f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
∵x∈（0，π]，
∴f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）=

x+sinx

x

在（0，π]上为减函数，
当x=π时，f（x）取最小值1，
若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，
则a＞1

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，利用导数研究函数的单调性，是三角函数与导数的简单综合应用，难度中档．