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    已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
    π
    2
    ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
    π
    2
    ，且图象上一个最高点为M（
    π
    6
    ，3）．
    （1）求f（x）的解析式；
    （2）先把函数y=f（x）的图象向左平移
    π
    6
    个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式．
    （3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[-
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．
    考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
    专题：三角函数的图像与性质
    分析：（1）依题意知
    1
    2
    T=
    π
    2
    ，由此可求得ω=2；又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（
    π
    6
    ，3），可知A=3，2×
    π
    6
    +φ=2kπ+
    π
    2
    （k∈Z），结合0＜φ＜
    π
    2
    可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
    （2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得函数y=g（x）的解析式；
    （3）x0∈[-
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]⇒-
    1
    2
    ≤cosx0≤1，-
    3
    2
    ≤3cosx0≤3，依题意知，log3m≥（-
    3
    2
    ）+2=
    1
    2
    ，从而可求得实数m的最小值．
    解答： 解：（1）∵
    1
    2
    T=
    π
    2
    ，
    ∴T=
    2π
    ω
    =π，解得ω=2；
    又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（
    π
    6
    ，3），
    ∴A=3，2×
    π
    6
    +φ=2kπ+
    π
    2
    （k∈Z），
    ∴φ=2kπ+
    π
    6
    （k∈Z），又0＜φ＜
    π
    2
    ，
    ∴φ=
    π
    6
    ，
    ∴f（x）=3sin（2x+
    π
    6
    ）；
    （2）把函数y=f（x）的图象向左平移
    π
    6
    个单位长度，得到f（x+
    π
    6
    ）=3sin[2（x+
    π
    6
    ）+
    π
    6
    ]=3cos2x；
    然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=3cosx的图象，
    即g（x）=3cosx；
    （3）∵x0∈[-
    π
    3
    ，
    2π
    3
    ]，∴-
    1
    2
    ≤cosx0≤1，-
    3
    2
    ≤3cosx0≤3，
    依题意知，log3m≥（-
    3
    2
    ）+2=
    1
    2
    ，
    ∴m≥
    		3
    ，即实数m的最小值为
    		3
    ．
    点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及函数恒成立问题，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知tan（
    π
    4
    +α）=-
    1
    2
    ．
    （1）求tanα的值；
    （2）求
    sin2α-2cos2α
    1+tanα
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    用描述法表示下列集合：
    （1）小于4的全体奇数构成的集合（描述法）；
    （2）坐标平面内，两坐标上点的集合；
    （3）三角形的全体构成的集合；
    （4）{2，4，6，8}．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
    （1）求f（x）的最小正周期、最大值、最小值；    
    （2）试说明f（x）是怎样由f（x）=sinx变换得来的．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2-（a-2）x-alnx．
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）设函数g（x）=-x3-ax2+a-
    a2
    4
    ，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）-g（β）|＜a成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2+n+1，n∈N+．
    （1）求a1及an；
    （2）判断数列{an}是否为等差数列？并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=2sin（
    π
    6
    -2x）+a．
    （1）求函数f（x）的最小正周期；
    （2）求函数f（x）的单调递减区间；
    （3）若x∈[0，
    π
    2
    ]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
    x24a68
    y3040b5070
    过定点（5，50），则：
    （1）求出a，b的值，并画出散点图；
    （2）求回归直线方程；
    （3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？（
    ∧
    b
    =
    n
    i=1
    xiyi-n
    .
    x
    .
    y
    n
    i=1
    xi2-n
    .
    x
    2
    ，
    ∧
    a
    =
    .
    y
    -
    ∧
    b
    .
    x
    ）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：
    ①M、N都在函数y=f（x）的图象上；
    ②M、N关于y轴对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．
    已知函数f（x）=
    log4x，x＞0
    x2+2x，x≤0
    ，此函数的“友好点对”有
     
    ．

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