Question

若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：
①M、N都在函数y=f（x）的图象上；
②M、N关于y轴对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．
已知函数f（x）=

log4x，x＞0 x2+2x，x≤0

，此函数的“友好点对”有

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=x²+2x（x≤0）的图象关于y轴对称的图象，看它与函数f（x）=log₄x（x＞0）交点个数即可．

解答： 解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
则函数y=x²+2x（x≤0）的图象关于y轴对称的函数是y=x²-2x（x≥0）
由题意知，作出函数y=x²-2x（x≥0）的图象及函数f（x）=log₄x（x＞0）的图象，
如下图所示：

由图可得两个函数图象共有两个交点
即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案为：2

点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．