Question

如图，AB是半径为3的圆O的直径，P是圆O上异于A，B的一点Q是线段AP上靠近A的三等分点，且

AQ

•

AB

=4，则

BQ

•

BP

的值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设P（3cosα，3sinα），由Q是线段AP上靠近A的三等分点，求出Q的坐标，由

AQ

•

AB

=4得到cosα=-

1

3

，再求

BQ

•

BP

，化简整理，即可得到结果．

解答： 解：如图以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则圆O：x²+y²=9，设P（3cosα，3sinα），
A（-3，0），B（3，0），
由

AQ

=

1

2

QP

，得到Q（-2+cosα，sinα），

AQ

=（1+cosα，sinα），

AB

=（6，0），

AQ

•

AB

=4即有6（1+cosα）=4，则cosα=-

1

3

，
则

BQ

•

BP

=（-5+cosα，sinα）•（3cosα-3，3sinα）
=（-5+cosα）•（3cosα-3）+3sin²α
=-18cosα+15+3cos²α+3sin²α=18-18cosα
=18-18×（-

1

3

）=24．
故答案为：24

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查圆的参数方程的运用，考查三角化简整理的运算能力，属于中档题．