Question

如图，已知平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2，G为CE中点．
（1）作出这个几何体的三视图（不要求写作法）；
（2）设P=DF∩AG，Q是直线DC上的动点，判断并证明直线PQ与直线EF的位置关系；
（3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,简单空间图形的三视图,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由直观图能作出这个几何体的三视图．
（2）以C为原点，CB为x轴，CG为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线PQ⊥直线EF．
（3）求出平面ADE的法向量，利用向量法能求出直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

解答： 解：（1）作出这个几何体的三视图如右图．
 （2）以C为原点，CB为x轴，CG为y轴，CD为z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，4），F（2，2，0），P（1，1，2），E（0，4，0），
设Q（0，0，t），0≤t≤4，

PQ

=（1，1，t-2），

EF

=（2，-2，0），

PQ

•

EF

=2-2+0=0，
∴直线PQ⊥直线EF．
（3）A（2，0，4），

DA

=（2，0，0），

DE

=（0，4，-4），
设平面ADE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DA =2x=0 n • DE =4y-4z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
设直线EF与平面ADE所成角为θ，
sinθ=|cos＜

n

，

EF

＞|=|

-2

2 2 × 2

|=

1

2

，
∴cosθ=

1-( 1 2 )2

=

3

2

．
∴直线EF与平面ADE所成角的余弦值为

3

2

．

点评：本题考查三视图的作法，考查两直线位置关系的判断，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．