Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，有an=2n．（6分）
（2）由（1）知bn=log22n=n，有an•bn=n•2nTn=1×2+2×22+…+n×2n①
①×2，2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
整理得Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

点评：本题考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用．