Question

6．设函数f（x）=|x-a|+|x-3|．
（1）当a=3是，解不等式f（x）≥4+|x-3|-|x-1|；
（2）若不等式f（x）≤1+|x-3|的解集为[1，3]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0）．
       求证：m+2n≥2．

Answer 1

分析 （1）对x进行讨论，去绝对值号，解不等式即可；
（2）求出a，得出m，n的关系，再利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：（1）a=3时，f（x）≥4+|x-3|-|x-1|等价于|x-3|+|x-1|-4≥0，
当x≤1时，不等式为3-x+1-x-4≥0，解得x≤0；
当x≥3时，不等式为x-3+x-1-4≥0，解得x≥4；
当1＜x＜3时，不等式为3-x+x-1-4≥0，不等式无解．
综上，不等式≥解集为（-∞，0]∪[4，+∞）．
（2）证明：f（x）≤1+|x-3|等价于|x-a|≤1，∴-1≤x-a≤1，
即a-1≤x≤a+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=1}\\{a+1=3}\end{array}\right.$，
∴a=2．
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}$=2，∴2n=$\frac{m}{2m-1}$，
∵m＞0，n＞0，∴$\frac{m}{2m-1}$＞0，∴2m-1＞0．
∴m+2n=m+$\frac{m}{2m-1}$=$\frac{2{m}^{2}}{2m-1}$=$\frac{\frac{1}{2}（2m-1）^{2}+（2m-1）+\frac{1}{2}}{2m-1}$=$\frac{1}{2}$[（2m-1）+$\frac{1}{2m-1}$]+1≥$\frac{1}{2}$×2+1=2．
当且仅当2m-1=$\frac{1}{2m-1}$即m=1时取等号．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．