Question

1．如果椭圆的两焦点为F₁（0，-1）和F₂（0，1），P是椭圆上的一点，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，那么椭圆的方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞b＞0），由于|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，及P是椭圆上的一点，可得2|F₁F₂|=|PF₂|+|PF₁|=4=2a，即可得到a，又c=1，再利用b²=a²-c²即可．

解答 解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差数列，P是椭圆上的一点，
∴2|F₁F₂|=|PF₂|+|PF₁|=4=2a，
解得a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=3．
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其定义、性质、等差数列的意义，属于基础题．