【题目】已知函数
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递增区间为,单调减区间为(2)
【解析】
(1)将代入函数的解析式,求出该函数的定义域和导数,然后分别解不等式和,即可得出该函数的减区间和增区间;
(2)由题意得出不等式对任意的恒成立,构造函数,利用导数分析出函数在区间上的单调性,得出该函数的最大值,结合,可求出实数的取值范围.
(1)当时,,其定义域为,
则,当时,当时,
故函数的单调递增区间为,单调减区间为;
(2)不等式,即,即,
由题可知在上恒成立,
令,则,
令,则,
①若,则,函数在上单调递增,
所以,则,不符合题意;
②若,则当时,函数在上单调递增,
所以当时,,则,不符合题意;
③若,则在上恒成立,函数在上单调递减,
所以,所以,符合题意.
综上,,故实数的取值范围为.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程,并指出两曲线的轨迹图形;
(2)曲线与两坐标轴的交点分别为、,点在曲线上运动,当曲线与曲线相切时,求面积的最大值.
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【题目】如图所示,某公园内有两条道路,,现计划在上选择一点,新建道路,并把所在的区域改造成绿化区域.已知, .
(1)若绿化区域的面积为1,求道路的长度;
(2)若绿化区域改造成本为10万元/,新建道路成本为10万元/.设(),当为何值时,该计划所需总费用最小?
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【题目】选修4—5: 不等式选讲
已知函数f(x)= 的定义域为R.
(Ⅰ)求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若m的最大值为n,当正数a,b满足 =n时,求7a+4b的最小值.
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【题目】下列命题中,假命题的是( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交.
B.平行于同一平面的两条直线一定平行.
C.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面.
D.若直线不平行于平面,且不在平面内,则在平面内不存在与平行的直线.
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【题目】已知为坐标原点,椭圆:的左、右焦点分别为,.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在直线:与椭圆相交于两点,使得?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由!
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差摄氏度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.
(1)若选取的3组数据恰好是连续天的数据(表示数据来自互不相邻的三天),求的分布列及期望:
(2)根据12月2日至4日数据,求出发芽数关于温差的线性回归方程.由所求得线性回归方稻得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问所得的线性回归方程是否可靠?
附:参考公式:.
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