Question

【题目】如图所示，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知， ．

（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；

（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由的面积可得，结合余弦定理可得结果.

（2）在中利用正弦定理可得，．从而得到总费用 ．利用导数研究最值即可.

（1）因为在中，已知， ，

所以由的面积，

解得．

在中，由余弦定理得：

，

所以．

（2）由，则，．

在中，， ，由正弦定理得，

所以，．

记该计划所需费用为，

则 ．

令，则，

由，得．所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以时，该计划所需费用最小．