Question

【题目】如图所示，在直三棱柱中，D点为棱AB的中点．

求证：平面；

若，，求二面角的余弦值；

若，，两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．

Answer 1

【答案】（1）见解析

（2）

（3）见解析

【解析】

（1）连接交于，连接，则是△的中位线，所以，即可证明平面；

（2）过作于，连接，则，平面，可得为二面角的平面角；

（3）作，，垂足分别为，，连接，，证明是等边三角形，又三棱柱是直三棱柱，即可证明结论．

（1）证明：连接交于，连接，则是△的中位线，所以

又 平面，平面

平面．

（2）解：过作于，连接，则平面，

为二面角的平面角，设

由已知可得，

，

，

，

即二面角的余弦值为．

（3）证明：作，，垂足分别为，，连接，．

由已知可得 平面，

又 ，且，是平面内的两条相交直线，

平面，

同理

又 直线，，都在平面内，，

又，四边形是平行四边形，，

又△，，

同理，

是等边三角形，又三棱柱是直三棱柱三棱柱为正三棱柱．