Question

5．已知x＞y＞0，m＞0．
（1）试比较$\frac{y}{x}$与$\frac{y+m}{x+m}$的大小；
（2）用分析证明：$\sqrt{xy}$（2-$\sqrt{xy}$）≤1．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，比较$\frac{y}{x}$与$\frac{y+m}{x+m}$的大小；
（2）直接利用分析法的证明步骤，找出不等式成立的充分条件即可．

解答 （1）解：因为$\frac{y}{x}$-$\frac{y+m}{x+m}$=$\frac{m（y-x）}{x（x+m）}$，x＞y＞0，m＞0…（2分）
所以m（y-x）＜0，x（x+m）＞0   …（4分）
所以$\frac{m（y-x）}{x（x+m）}$＜0，即$\frac{y}{x}$-$\frac{y+m}{x+m}$＜0，
所以$\frac{y}{x}$＜$\frac{y+m}{x+m}$．…（6分）
（2）证明：要证用分析证明：$\sqrt{xy}$（2-$\sqrt{xy}$）≤1，
只需2$\sqrt{xy}$-（$\sqrt{xy}$）²≤1，…（7分）
只需（$\sqrt{xy}$）²-2$\sqrt{xy}$+1≥0，
即（$\sqrt{xy}$-1）²≥0，…（9分）
因为x，y＞0，且（$\sqrt{xy}$-1）²≥0成立，…（11分）
所以$\sqrt{xy}$（2-$\sqrt{xy}$）≤1．…（12分）

点评 本题考查了利用综合法及分析法证明不等式，关键是掌握综合法与分析法的原理、步骤及格式．