Question

16．如图．跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A、B的俯角分别是α、β，又测得∠ADB=γ，求AB的长．

Answer 1

分析 先由勾股定理确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长．

解答 解：如图根据已知，CD=h，
∵在△ACD中，∠CAD=α，∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{h}{AD}$=tanα，∴AD=$\frac{h}{tanα}$，
同理，在△BCD中，∠CBD=β，∴BD=$\frac{h}{tanβ}$，
∴在△BDA中，由余弦定理得，AB²=AD²⁺BD²-2×AD×BD×cos∠ADB=（$\frac{h}{tanα}$）²+（$\frac{h}{tanβ}$）²-2×$\frac{h}{tanα}$×$\frac{h}{tanβ}$×cosγ，
故AB²=（$\frac{h}{tanα}$）²+（$\frac{h}{tanβ}$）²-2×$\frac{h}{tanα}$×$\frac{h}{tanβ}$×cosγ，
故AB的长为h$\sqrt{（\frac{1}{tanα}）^{2}+（\frac{1}{tanβ}）^{2}-\frac{2cosγ}{tanαtanβ}}$．

点评 本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理和学生的计算能力，属于中档题．