Question

7．设x，y＞0，记A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），求A的最大值．

Answer 1

分析 由题意可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，运用不等式的可乘性和重要不等式a²+b²≥2ab，（a=b取得等号），即可得到A的最大值．

解答 解：A=min（x，$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
可得A≤x，A≤$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
由x，y＞0，可得A²≤$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
又x²+y²≥2xy，当且仅当x=y取得等号．
即有$\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
则A²≤$\frac{1}{2}$，即A≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则A的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查最值的求法，注意运用基本不等式和不等式的传递性，考查运算能力，属于中档题．