Question

19．若函数f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{x+1}$，求f（x），g（x）的解析式．

Answer 1

分析 根据f（x）和g（x）的奇偶性，将x换为-x代入已知的等式，得到关于f（x）和g（x）的另一方程，联立方程组后即可求出f（x），g（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），且g（-x）=-g（x），
∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x+1}$，①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x+1}$，则f（x）-g（x）=$\frac{1}{-x+1}$，②
联立①②得，f（x）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$，g（x）=$\frac{-x}{1-{x}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性，以及方程思想，解题的关键是借助于函数的奇偶性得到关于f（x）和g（x）的另外一个方程，是求函数解析式的一种方法．