Question

4．已知圆的方程为x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0（m∈R）．
（1）当该圆的半径最长时，求m的值；
（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l：2kx-2y+4+$\sqrt{3}$-3k=0的距离等于1的点有且只有3个，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）圆的方程x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0化为（x-1）²+（y-m）²=-m²+4m，当-m²+4m＞0时表示圆，半径最大时，-m²+4m取得最大值，求出对应m的值；
（2）圆周上到直线l的距离等于1的点有且只有3个时，圆心到直线l的距离d=r-1，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）圆的方程x²+y²-2x-2my+2m²-4m+1=0可化为：
（x-1）²+（y-m）²=-m²+4m，
它表示圆时，应有-m²+4m＞0，
解得0＜m＜4；
当半径最大时，应有-m²+4m最大，
此时m=2，圆的方程为 x²+y²-2x-4y+1=0；
（2）圆的方程x²+y²-2x-4y+1=0，化为（x-1）²+（y-2）²=4；
该圆的圆周上到直线l：2kx-2y+4+$\sqrt{3}$-3k=0的距离等于1的点有且只有3个，
则圆心（1，2）到直线l的距离d等于半径r-1，
即$\frac{|2k-2×2+4+\sqrt{3}-3k|}{\sqrt{{4k}^{2}+4}}$=1，
化简得${（k-\sqrt{3}）}^{2}$=4k²+4，
解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和圆的方程与应用问题，点到直线的距离公式的应用，也体现了转化的数学思想，是综合性题目．