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(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.

(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)设不是的直径,的中点为,且,证明:为等边三角形.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.

试题分析:(Ⅰ)由圆的内接四边形的性质得,由等腰三角形的性质得,则有
,充分挖掘角的等量关系是解题关键;(Ⅱ)要证明为等边三角形,只需证明三个内角相等.由得,需证,故只需证明.由得,在弦的垂直平分线上,该直线必然是直径所在的直线,又是非直径的弦的中点,故该直线垂直于,则,进而证明为等边三角形.
试题解析:(I)由题设知四点共圆,所以.由已知得,故
(II)设的中点为,连接,则由,故在直线上.又不是的直径,的中点为,故,即.所以,故.又
,故.由(1)知,,所以为等边三角形.

【考点定位】1、圆的内接四边形的性质;2、垂径定理的推论.
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