Question

【题目】已知为函数的导函数, .

(1)求的单调区间；

(2)当时, 恒成立,求的取值范围 .

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减; 在上单调递增.（2）

【解析】分析：(1)首先令，求得，再对函数求导，令，得，从而确定函数解析式，并求得，之后根据导数的符号对函数的单调性的决定性作用，求得函数的单调区间；

(2)构造新函数，将不等式恒成立问题向函数的最值转化，对参数进行分类讨论，确定函数的单调区间，确定函数的最值点，最后求得结果.

详解：(1)由,得.

因为,所以,解得.

所以, ，

当时, ,则函数在上单调递减;

当时, ,则函数在上单调递增.

(2)令 ，根据题意,当时, 恒成立.

.

①当,时, 恒成立，

所以在上是增函数,且，所以不符合题意;

②当,时, 恒成立,

所以在上是增函数,且所以不符合题意;

③当时,因为,所有恒有,故在上是减函数,于是“对

任意都成立”的充要条件是，

即，解得,故.

综上, 的取值范围是.