【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.
【答案】
(1)解:由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx﹣y+1=0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.
故由 <1,
故当 <k< ,过点A(0,1)的直线与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1相交于M,N两点
(2)解:设M(x1,y1);N(x2,y2),
由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,
可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,
∴x1+x2= ,x1x2= ,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
= k2+k +1= ,
由 =x1x2+y1y2= =12,解得 k=1,
故直线l的方程为 y=x+1,即 x﹣y+1=0.
圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.
所以|MN|=2
【解析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解.
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【题目】已知圆经过两点,且圆心在直线l:上.
Ⅰ求圆的方程;
Ⅱ求过点且与圆相切的直线方程;
Ⅲ设圆与x轴相交于A、B两点,点P为圆上不同于A、B的任意一点,直线PA、PB交y轴于M、N点当点P变化时,以MN为直径的圆是否经过圆内一定点?请证明你的结论.
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【题目】已知命题p:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根;命题q:关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根.
若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
若命题p和命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.
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【题目】已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC= AB,若四面体P﹣ABC的体积为 ,则该球的体积为( )
A.
B.2π
C.
D.
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【题目】某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生倪某为领队.入场时,领队男生倪某必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共有种排法;入场后,又需从男生(含男生倪某)和女生中各选一名代表到主席台服务,共有种选法.(1)试求和; (2)判断和的大小(),并用数学归纳法证明.
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【题目】已知函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调,且函数y=f(x﹣2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{an}的前100项的和为( )
A.﹣200
B.﹣100
C.0
D.﹣50
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