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已知、,,求的最小值.
解法如下:,
当且仅当,即时取到等号,
则的最小值为.
应用上述解法,求解下列问题:
(1)已知,,求的最小值;
(2)已知,求函数的最小值;
(3)已知正数、、,,
求证:.
(1)9;(2)18;(3)证明见解析.
解析试题分析:本题关键是阅读给定的材料,弄懂弄清给定材料提供的方法(“1”的代换),并加以运用.主要就是,展开后就可应用基本不等式求得最值.(1);(2)虽然没有已知的“1”,但观察求值式子的分母,可以凑配出“1”:,因此有,展开后即可应用基本不等式;(3)观察求证式的分母,结合已知有
,因此有
此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项,如与合并相加利用基本不等式有 ,从而最终得出.
(1),
2分
而,
当且仅当时取到等号,则,即的最小值为. 5分
(2), 7分
而,,
当且仅当,即时取到等号,则,
所以函数的最小值为. 10分
(3)
当且仅当时取到等号,则. 16分
考点:阅读材料问题,“1”的代换,基本不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径,、是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x2+x万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小,其最小值为多少?
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