Question

14．己知函数f（x）=|2|x|-1|．
（I）求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值，即可求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）当m，n∈A时，利用分析法即可证明：|m+n|≤mn+1．

解答 （ I）解：f（x）≤1即|2|x|-1|≤1．
∴-1≤2|x|-1≤1，∴|x|≤1…（2分）
解得：-1≤x≤1，所以A=[-1，1]…（4分）
（ II）证明：要证：|m+n|≤mn+1，即证（m+n）²≤（mn+1）²…（6分）
因为 （m+n）²-（mn+1）²=m²+n²-m²n²-1=（m²-1）（1-n²）…（8分）
因为m，n∈A，所以m²≤1，n²≤1，所以（m²-1）（1-n²）≤0
所以（m+n）²≤（mn+1）²
所以，|m+n|≤mn+6…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法的综合运用，属于中档题．