Question

6．已知函数$f（x）=4sinxsin（x+\frac{π}{3}）$，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的取值范围；
（2）若对任意的x∈R都有f（x）≤f（A），b=2，c=4，点D是边BC的中点，求$|\overrightarrow{AD}|$的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式对已知函数解析式进行变形处理，得到：f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，由此求得函数的值域；
（2）利用余弦定理和数量积的计算方法解答．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+1$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
所以f（x）∈[0，3]；
（2）由对任意的x∈R都有f（x）≤f（A）得：$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}⇒A=\frac{π}{3}$，
由${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}^2}）$=$\frac{1}{4}（{c^2}+{b^2}+2cbcosA）$=$\frac{1}{4}（{c^2}+{b^2}+cb）=7$，
所以$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{7}$．

点评 本题考查了三角函数中的恒等变换应用．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．