己知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.F1.F2时双曲线的两个焦点.A为左顶点.B(0.b).点P在线段AB上.则$\overrightarrow{P{F} {1}}$•$\overrightarrow{P{F} {2}}$的最小值为-$\frac{21}{5}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．己知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，F₁，F₂时双曲线的两个焦点，A为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值为-$\frac{21}{5}$．

分析设P（x，y）推出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-x，-y）（$\sqrt{5}$-x，-y）=x²+y²-5，通过垂直整合求解最小值即可．

解答解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，A为左顶点、可得a=2，则c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
设P（x，y）则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-x，-y）（$\sqrt{5}$-x，-y）=x²+y²-5，
显然，当OP⊥AB时，x²+y²取得最小值，由面积法易得（x²+y²）_min=$\frac{4}{5}$，故点P在线段AB上，
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值为：$\frac{4}{5}-5=-\frac{21}{5}$．
故答案为：-$\frac{21}{5}$．

点评本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

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